Прямоугольник (или параллелограмм) АВСД, то он обладает следующими свойствами: параллельные стороны попарно равны (см. ). АВ = СД и АС = ВД. Зная отношение сторон в этой фигуре, можно вывести прямоугольника (и параллелограмма): Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пусть одни стороны будут равны числу а, другие – числу в, тогда Р = а + а + в + в = 2*а = 2* в = 2*(а + в). Пример 1. В АВСД стороны равны АВ = СД = 7 см и АС = ВД = 3 см. Найти периметр такого прямоугольника. Решение: Р = 2*(а + в). Р = 2*(7 +3) = 20 см.
Решая задачи на сумму длин сторон с фигурой, называемой квадрат или ромб, следует применять несколько видоизмененную формулу периметра. Квадрат и ромб – фигуры, имеющие одинаковые четыре стороны. Исходя из определения периметра, Р = АВ + СД + АС+ ВД и допуская длины буквой а, то Р = а + а + а + а = 4*а. Пример 2. Ромб стороны 2 см. Найти его периметр. Решение: 4*2 см = 8 см.
Если данный четырехугольник является трапецией, то в этом случае просто нужно сложить длины четырех ее сторон. Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пример 3. Найти АВСД, если ее стороны равны: АВ = 1 см, СД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Решение: Р = АВ + СД + АС+ ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Может случиться такое, что окажется равнобокой (у нее две боковые стороны равны), тогда ее периметр может свестись к формуле: Р = АВ + СД + АС+ ВД = а + в +а + с = 2*а + в + с. Пример 4. Найти периметр равнобокой , если ее боковые грани равны 4 см, а основания - 2 см и 6 см. Решение: Р = 2*а + в + с = 2 *4см + 2 см + 6 см = 16 см.
Видео по теме
Полезный совет
Никто не мешает находить периметр четырехугольника (и любой другой фигуры), как сумму длин сторон, не используя выведенные формулы. Они даны для удобства и упрощения вычисления. Не является ошибкой метод решения, важен правильный ответ и знание математической терминологии.
Источники:
- как находить периметр прямоугольника
Все мы когда-то в школе начинаем изучать периметр прямоугольника. Так давайте вспомним, как же его вычислить и вообще что такое периметр?
Слово "периметр" произошло от двух греческих слов: «peri», которое означает "вокруг", "около" и "metron", которое означает "мерить", "измерять". Т.е. периметр, в переводе с греческого означает "измерение вокруг".
Достаточно узнать длину всех ее сторон и найти их сумму. Периметром называется совокупная длина границ плоской фигуры. Иными словами, это сумма длин ее сторон. Единица измерения периметра должна соответствовать единице измерения его сторон. Формула периметра многоугольника имеет вид Р = a + b + c…+ n, где Р - периметр, а вот а, b, с и n - длина каждой из сторон. Иначе вычисляется (или периметр круга): используется формула р = 2 * π * r, где r - радиус, а π - постоянное число, приблизительно равное 3,14. Рассмотрим несколько простых примеров, наглядно демонстрирующих, как найти периметр. В качестве образца возьмем такие фигуры как квадрат, параллелограмм и окружность.
Как найти периметр квадрата
Квадратом называется правильный четырехугольник, у которого равны все стороны и углы. Так как все стороны квадрата равны, сумму длин его сторон можно вычислить по формуле Р = 4 * a, где а - длина одной из сторон. Таким образом, со стороной 16,5 см равен Р = 4 * 16,5 = 66 см. Так же можно вычислить периметр равностороннего ромба.
Как найти периметр прямоугольника
Прямоугольник - это четырехугольник, все углы которого равны 90 градусам. Известно, что в такой фигуре, как прямоугольник, длины сторон равны попарно. Если ширина и высота прямоугольника имеют одинаковую длину, то он называется квадратом. Обычно длиной прямоугольника называют наибольшую из сторон, а шириной - наименьшую. Таким образом, чтобы получить периметр прямоугольника, необходимо удвоить сумму его ширины и высоты: P = 2 * (а + b), где а - высота, а b - ширина. Имея в наличии прямоугольник, одна сторона которого является длиной и равна 15 см, а другая шириной с установленным значением в 5 см, мы получим периметр, равный Р = 2 * (15 + 5) = 40 см.
Как найти периметр треугольника
Треугольник образован тремя отрезками, которые соединяются в точках (вершинах треугольника), не лежащих на одной и той же прямой. Треугольник называется равносторонним, если равны все три его стороны, и равнобедренным, если равных сторон две. Чтобы узнать периметр необходимо длину его стороны умножить на 3: Р = 3 * a, где а - одна из его сторон. Если стороны треугольника не равны между собой, необходимо провести операцию сложения: Р = а + b + с. Периметр равнобедренного треугольника со сторонами 33, 33 и 44 соответственно будет равен: P = 33 + 33 + 44 = 110 см.
Как найти периметр параллелограмма
Параллелограмм - это четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами. Квадрат, ромб и прямоугольник являются частными случаями фигуры. Противоположные стороны любого параллелограмма равны, поэтому для вычисления его периметра воспользуемся формулой P = 2 (а + b). В параллелограмме со сторонами 16 см и 17 см сумма сторон, или периметр, равна Р = 2 * (16 + 17) = 66 см.
Как найти длину окружности
Окружность является замкнутой прямой, все точки которой расположены на равном удалении от центра. Длина окружности и ее диаметр всегда имеют одинаковое отношение. Это отношение выражено константой, записывается при помощи буквы π и равняется примерно 3,14159. Узнать периметр круга можно по произведению радиуса на 2 и на π. Получается, что длина окружности с радиусом в 15 см будет равна Р = 2 * 3,14159 * 15 = 94,2477
Цель: ознакомить с приёмом нахождения периметра прямоугольника.
Задачи: формировать умение решать задачи, связанные с нахождением периметра фигур, вырабатывать умения чертить геометрические фигуры, закрепить умение вычислять, применяя с переместительное свойство сложения, развивать навык устного счёта, логическое мышление, воспитывать познавательную активность и умение работать в коллективе.
Оборудование: ИКТ (мультимедийный проектор, презентация к уроку), картинки с геометрическими фигурами для физминутки, модель магического квадрата, у учеников – модели геометрических фигур, маркерные доски, линейки, учебники, тетради.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Проверка готовности к уроку. Приветствие.
Начинается урок,
Он пойдёт ребятам впрок.
Постарайтесь всё понять –
И внимательно считать.
2. Устный счёт
а) Использование магических фигур. (Приложение 1 )
– Заполним клетки магического квадрата, назовите его особенности (сумма чисел по горизонталям, вертикалям и диагоналям равны) и определите волшебное число. (39)
По цепочке дети заполняют квадрат на доске и в тетрадях .
б) Знакомство со свойствами магических треугольников. (Приложение 2 )
– Суммы чисел в углах, образующие треугольник равны. Найдём волшебные числа у треугольника. Определи пропущенное число. Отметь его на маркерной доске.
3. Подготовка к изучению нового материала
– Перед Вами геометрические фигуры. Назовите
их одним словом. (Четырёхугольники).
– Разделите их на 2 группы. (Приложение
3
)
– Что такое прямоугольники. (Прямоугольники –
четырехугольники, у которых все углы прямые.)
– Что можно узнать, зная длины сторон
четырёхугольников? Периметр – сумма длин сторон
фигур.
– Найдите периметр белой фигуры, жёлтой.
– Почему у прямоугольников известны не все
стороны?
– Какие свойства у противолежащих сторон
прямоугольников? (У прямоугольника
противоположные стороны равны).
– Если противоположные стороны равны, надо ли
измерять все стороны? (Нет.)
– Правильно, достаточно измерить длину и ширину.
– Как вычислить удобным способом? (Учащиеся
работают устно с комментированием.)
4. Изучение новой темы
– Прочитайте тему нашего урока: «Периметр
прямоугольника». (Приложение 4
)
– Помогите найти периметр данной фигуры, если её
длина равна – а
, а ширина – в
.
Желающие находят Р у доски. Учащиеся в тетрадях записывают решение.
– Как записать это по-другому?
Р = а + а + в + в ,
Р = а х 2 + в х 2,
Р = (а + в ) х 2.
– Мы получили формулу нахождения периметра прямоугольника. (Приложение 5 )
5. Закрепление
Стр. 44 № 2.
Дети читают и записывают условие, вопрос, чертят фигуру, находят Р разными способами, записывают ответ.
6. Физминутка. Сигнальные карточки
Сколько клеточек зелёных,
Столько выполним наклонов.
Столько раз руками хлопнем.
Столько раз ногами топнем.
Сколько здесь у нас кружков,
Столько сделаем прыжков.
Мы присядем столько раз,
Столь подтянемся сейчас.
7. Практическая работа
– У Вас на партах лежат в конвертах
геометрические фигуры. Как мы их назовём?
– Что такое прямоугольники?
– Что вы знаете о противолежащих сторонах
прямоугольников?
– Измерьте стороны фигур по вариантам,
найдите периметр разными способами.
– Проверяем у соседа.
Взаимопроверка тетрадей .
– Прочитайте: Как нашли периметр? Что можно
сказать о периметрах данных фигур? (Они равны)
.
– Начертите прямоугольник с таким же Р, но
другими сторонами.
Р 1 = (2 + 6) х 2 = 16 Р 1 = 2 х 2 + 6 х 2 = 16
Р 1 = 2 + 2 + 6 + 6 = 16
Р 2 = 3 + 3 + 5 + 5 = 16 Р 2 = (3 + 5) х 2 = 16
Р 3 = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 Р 4 = 1 + 1 + 7 + 7 = 16
8. Графический диктант
Слева 6 клеток. Поставили точку. Начинаем движение. 2 – вправо, 4 – вправо вниз, 10 – влево, 4 – вправо вверх. Какая фигура? Преврати её в прямоугольник. Дострой. Найди Р разными способами.
Р = (5 + 2) х 2 = 14.
Р = 5 + 5 + 2 + 2 = 14.
Р = 5 х 2 + 2 х 2 = 14.
9. Пальчиковая гимнастика
Умножали, умножали.
Очень, очень мы устали.
Наши пальчики сплетём и соединим ладошки.
А потом, как только можем, крепко накрепко сожмём.
На дверях висит замок.
Кто его открыть не смог?
Мы замочком постучали,
Мы замочек повертели,
Мы замочек покрутили и открыли.
(Слова сопровождаются движениями)
10. Составление и решение задачи по условию (Приложение 8 )
Длина прямоугольника – 12 дм
Ширина – на 3 дм м.
Р – ?
В первом действии найдём ширину: 12 – 3 = 9 (дм) –
ширина
Зная длину и ширину, узнаем Р одним из способов.
Р = (12 + 9) х 2 = 42 дм
11. Самостоятельная работа
12. Итог урока
– Чему учились. Как находили Р прямоугольника?
13.Оценивание
Оцениваются ответы учащихся у доски и выборочно в процессе самостоятельной работы.
14.Домашнее задание
С. 44 № 5 (с пояснениями).
При решении, необходимо принять во внимание, что решить задачу о нахождении площади прямоугольника только из длины его сторон нельзя .
В этом несложно убедиться. Пусть периметр прямоугольника будет равен 20 см. Это будет верно, если его стороны 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 см. Все эти три прямоугольника будут иметь одинаковый периметр, равный двадцати сантиметрам. (1 + 9) * 2 = 20 точно также как и (2 + 8) * 2 = 20 см.
Как видно, мы можем подобрать бесконечное количество вариантов
размеров сторон прямоугольника, периметр которого будет равен заданному значению.
Площадь прямоугольников с заданным периметром 20 см, но с различными сторонами будет различна. Для приведенного примера - 9, 16 и 21 квадратных сантиметров соответственно.
S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Как видим, вариантов площади фигуры при заданном периметре - бесконечное количество.
Таким образом, для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника из его периметра, нужно обязательно знать либо соотношение его сторон, либо длину одной из них. Единственной фигурой, которая имеет однозначную зависимость своей площади от периметра, является круг. Только для круга и возможно решение.
В этом уроке:
- Задача 4. Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника
Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади
Периметр прямоугольника равен 32 сантиметрам, а сумма площадей квадратов, построенных на каждой из его сторон - 260 квадратных сантиметров. Найдите стороны прямоугольника.Решение.
2(x+y)=32
Согласно условию задачи, сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, четыре) будет равна
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 =9
x 2 =7
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=16 (см. выше) при x=9, то y=7 и наоборот, если x=7, то y=9
Ответ : Стороны прямоугольника равны 7 и 9 сантиметров
Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра
Периметр прямоугольника 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна 89 кв. см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
Тогда периметр прямоугольника равен:
2(x+y)=26
Сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, два и это квадраты ширины и высоты, поскольку стороны смежные) будет равна
x 2 +y 2 =89
Решаем полученную систему уравнений. Из первого уравнения выводим, что
x+y=13
y=13-y
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Решаем полученное квадратное уравнение.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=13 (см. выше) при x=5, то y=8 и наоборот, если x=8, то y=5
Ответ: 5 и 8 см
Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон
Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника через коэффициент пропорциональности x.
Откуда длина одной стороны будет равна 2x, другой - 3х.
Тогда:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Теперь, исходя из полученных данных, определим площадь прямоугольника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2
Задача 4 . Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника
Длина прямоугольника увеличена на 25%. На сколько процентов надо уменьшить ширину, чтобы его площадь не изменилась?Решение
.
Площадь прямоугольника равна
S = ab
В нашем случае один из множителей увеличился на 25%, что означает a 2 = 1,25a . Таким образом, новая площадь прямоугольника должна быть равна
S 2 = 1,25ab
Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то
S 2 = S / 1.25
S 2 = 1,25ab / 1.25
Поскольку новый размер а изменять нельзя, то
S 2 = (1,25a) b / 1.25
1 / 1,25 = 0,8
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на (1 - 0,8) * 100% = 20%
Ответ : ширину нужно уменьшить на 20%.
На этом занятии мы познакомимся с новым понятием - периметр прямоугольника. Мы сформулируем определение этого понятия, выведем формулу для его вычисления. Также повторим сочетательный закон сложения и распределительный закон умножения.
На данном уроке мы познакомимся с периметром прямоугольника и его вычислением.
Рассмотрим следующую геометрическую фигуру (рис. 1):
Рис. 1. Прямоугольник
Данная фигура - прямоугольник. Вспомним, какие отличительные особенности прямоугольника мы знаем.
Прямоугольник - это четырехугольник, у которого четыре прямых угла и стороны попарно равны.
Что в нашей жизни может иметь прямоугольную форму? Например, книга, крышка стола или земельный участок.
Рассмотрим следующую задачу:
Задача 1 (рис. 2)
Вокруг земельного участка строителям понадобилось поставить забор. Ширина этого участка - 5 метров, длина - 10 метров. Забор какой длины получится у строителей?
Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1
Забор ставят по границам участка, поэтому, чтобы узнать длину забора, нужно знать длину каждой из сторон. У данного прямоугольника стороны равны: 5 метров, 10 метров, 5 метров, 10 метров. Составим выражение для подсчета длины забора: 5+10+5+10. Воспользуемся переместительным законом сложения: 5+10+5+10=5+5+10+10. В данном выражении есть суммы одинаковых слагаемых (5+5 и 10+10). Заменим суммы одинаковых слагаемых произведениями: 5+5+10+10=5·2+10·2. Теперь воспользуемся распределительным законом умножения относительно сложения: 5·2+10·2=(5+10)·2.
Найдем значение выражения (5+10)·2. Сначала выполняем действие в скобках: 5+10=15. А затем повторяем число 15 два раза: 15·2=30.
Ответ: 30 метров.
Периметр прямоугольника - сумма длин всех его сторон. Формула для подсчета периметра прямоугольника : , здесь a - длина прямоугольника, а b - ширина прямоугольника. Сумма длины и ширины называется полупериметром . Чтобы из полупериметра получить периметр, нужно его увеличить в 2 раза, то есть умножить на 2.
Воспользуемся формулой периметра прямоугольника и найдем периметр прямоугольника со сторонами 7 см и 3 см: (7+3)·2=20 (см).
Периметр любой фигуры измеряется в линейных единицах.
На данном уроке мы познакомились с периметром прямоугольника и формулой его вычисления.
Произведение числа и суммы чисел равно сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых.
Если периметр - это сумма длин всех сторон фигуры, то полупериметр - сумма одной длины и одной ширины. Мы находим полупериметр, когда работаем по формуле нахождения периметра прямоугольника (когда мы выполняем первое действие в скобках - (a+b)).
Список литературы
- Александрова Э.И. Математика. 2 класс. - М.: Дрофа, 2004.
- Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. - М.: Астрель, 2006.
- Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- Festival.1september.ru ().
- Nsportal.ru ().
- Math-prosto.ru ().
Домашнее задание
- Найти периметр прямоугольника, у которого длина 13 метров, а ширина - 7 метров.
- Найти полупериметр прямоугольника, если его длина - 8 см, а ширина - 4 см.
- Найти периметр прямоугольника, если его полупериметр - 21 дм.
Загрузка...
