Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n 2 можно записать:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
y n = f (n ).
Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.
Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….
Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n = b 1 q n– 1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b 1 , b 2 , b 3 , …, b n
пусть S n – сумма ее членов, т.е.
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .
Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .
Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .
Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .
Анна Чугайнова
Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел .
Если
функцию
задать на множестве натуральных чисел
,
то множество значений функции будет
счетным и каждому номеру
ставится в соответствие число
.
В этом случае говорят, что заданачисловая
последовательность
. Числаназываютэлементами
или членами
последовательности, а число
– общим или
–м
членом последовательности. Каждый
элемент
имеет последующий элемент
.
Это объясняет употребление термина
«последовательность».
Задают
последовательность обычно либо
перечислением ее элементов
,
либо указанием закона, по которому
вычисляется элемент с номером
,
т.е. указанием формулы ее
‑го
члена
.
Пример.
Последовательность
может быть задана формулой
:
.
Обычно
последовательности обозначаются так:
и т.п., где в скобках указывается формула
ее
-го
члена.
Пример.
Последовательность
‑это последовательность
Множество
всех элементов последовательности
обозначается
.
Пусть
и
‑ две последовательности.
Суммой
последовательностей
и
называют последовательность
,
где
,
т.е..
Разностью
этих последовательностей называют
последовательность
,
где
,
т.е..
Если
и
‑
постоянные, то последовательность
,
называютлинейной комбинацией
последовательностей
и
,
т.е.
Произведением
последовательностей
и
называют последовательность с
-м
членом
,
т.е.
.
Если
,
то можно определитьчастное
.
Сумма,
разность, произведение и частное
последовательностей
и
называются ихалгебраическими
композициями
.
Пример.
Рассмотрим последовательности
и
,
где.
Тогда
,
т.е. последовательность
имеет все элементы, равные нулю.
,
,
т.е. все элементы произведения и частного
равны
.
Если
вычеркнуть некоторые элементы
последовательности
так, чтобы осталось бесконечное множество
элементов, то получим другую
последовательность, называемуюподпоследовательностью
последовательности
.
Если вычеркнуть несколько первых
элементов последовательности
,
то новую последовательность называютостатком
.
Последовательность
ограничена
сверху
(снизу
),
если множество
ограничено сверху (снизу). Последовательность
называютограниченной
, если она
ограничена сверху и снизу. Последовательность
ограничена тогда и только тогда, когда
ограничен любой ее остаток.
Сходящиеся последовательности
Говорят,
что последовательность
сходится, если существует число
такое, что для любого
существует такое
,
что для любого
,
выполняется неравенство:
.
Число
называютпределом последовательности
.
При этом записывают
или
.
Пример.
.
Покажем,
что
.
Зададим любое число
.
Неравенство
выполняется для
,
такого, что
,
что определение сходимости выполняется
для числа
.
Значит,
.
Иными
словами
означает, что все члены последовательности
с достаточно большими номерами мало
отличается от числа
,
т.е. начиная с некоторого номера
(при)
элементы последовательности находятся
в интервале
,
который называется
–окрестностью
точки
.
Последовательность
,
предел которой равен нулю (
,
или
при
)
называетсябесконечно малой
.
Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:
Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;
Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.
Теорема
.Для того чтобы последовательность
имела предел, необходимо и достаточно
чтобы
,
где
– постоянная;
–
бесконечно малая
.
Основные свойства сходящихся последовательностей:
Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.
Отметим,
что при вычислении предела дроби,
числитель и знаменатель которой
представляют собой линейные комбинации
степеней
,
предел дроби равен пределу отношения
старших членов (т.е. членов, содержащих
наибольшие степени
числителя и знаменателя).
Последовательность
называется:
Все такие последовательности называют монотонными .
Теорема
.
Если последовательность
монотонно возрастает и ограничена
сверху, то она сходится и ее предел равен
ее точной верхней грани; если
последовательность убывает и ограничена
снизу, то она сходится к своей точной
нижней грани.
В преддверии нового года многие интересуется вопросом: как нарисовать петуха поэтапно, не трудно ли сделать это самостоятельно? Еще бы, ведь эта птица - символ грядущего 2017-го, поэтому его фотография или картинки обязательно должно находиться в доме все 365 дней.
Петух имеет яркую окраску, он великолепен, необычен, всегда разнообразен. Его изображение доставляет своей красотой невероятную радость. Множество переливов в перьях на шикарном хвосте выглядят настолько чудесно, что отрывать от них взгляд даже не хочется.
Походка у него горделивая, осанка ровная, выступает он важно, осматриваясь по сторонам.
Все это можно с точностью передать, изображая петуха карандашом поэтапно. Достаточно иметь чистый лист бумаги, чтобы испробовать себя в роли художника и подготовить всем сюрприз к новогодней череде праздников.
Красивый рисунок станет приятным подарком для близких. И не стоит переживать о наличие или отсутствие склонностей к изобразительному искусству.
Благодаря пошаговой простой инструкции картинки петуха будут легко даваться каждому. Останется только выбрать какая из предложенных схем вам нравится больше всего и выполнить ее самостоятельно.
Зеленохвостый забияка
Петухи – изрядные забияки, они любят задирать друг друга, стремятся постоянно ринуться в бой. Красивый хвост и длинные шпоры помогают им быть всегда среди лидеров. Именно такого бойца мы и попытаемся изобразить.Для начала, чтобы нарисовать петуха карандашом, надо обозначить основные элементы.
Поющий будильник
История гласит, что раньше петухов сажали на самую макушку домов и держали там для того, чтоб он своим пением будил хозяев по утрам.Сейчас бедную птицу уже никто не мучает таким способом, но традиция «вставать с первыми петухами» так и осталась. Конечно, живущие в городе люди о ней вряд ли знают, а вот всем деревенским она знакома не понаслышке.
Следующим предлагаем вам нарисовать петуха поэтапно такого, которым в старину украшали свои хоромы самые знатные дворяне.
Герой из сказок и мультфильмов
Петя – любимый герой всех малышей. О нем написано множество сказочных историй, создано немало захватывающих мультиков. Персонажи – умные, рассудительные и всегда правдивые. Именно поэтому ребята не чают в нем души.Совместно с ребенком вы можете попробовать изобразить сказочного красавца. А следующая схема поможет вам разобраться с тем, как нарисовать петухов из волшебного мира доступно и совсем просто.
Для детворы эти картинки будут более понятны, если провести аналогию с геометрическими фигурами: голова-круг, клюв-треугольник, туловище – две дуги, крыло-овал.
Что говорят о петушке в мире
Вы и представить не можете, что эта маленькая птица находится в почете у многих народов на земле. Многие писатели в своих произведениях утверждали, что петух изгоняет призраков, освобождает от злых духов. И происходило это именно тогда, когда он впервые кричал свое «ку-ка-ре-ку» после ночи.Поэтому нарисованные картинки, хранящиеся в комнатах на видном месте, станут отличной защитой от любой нечистой силы. Скорее берите карандаши и незамедлительно создавайте себе яркий символ защиты.
Чем красочнее будут оттенки, тем радостнее будет настроение при взгляде на картинку с петушком.
0 1977304
Заливистый детский смех, нарядные елки в витринах, торопящиеся горожане с полными пакетами подарков – все эти картины непроизвольно намекают на то, что самый важный день в году не за горами. Пора спешить: тщательно убрать дом, оформить праздничный декор, развешать на ветки ели блестящие шары, украсить оконные стекла и нарисовать очередной волшебный рисунок на Новый 2017 год Петуха. Для взрослого человека это отличная возможность окунуться в детство и оторваться от бытовой суеты. Для ребенка – хороший шанс поучаствовать в творческом процессе и создать нечто красивое своими руками, чтобы в итоге похвастаться талантом на конкурсе в детском саду или в школе. Яркие и красочные поэтапные рисунки Петуха, Деда Мороза, Снеговика, елочки, зимних пейзажей не только укрепят домашний уют к Новому 2017 году, но также останутся памятным предметом для любимых родителей об их маленьких детках.
Поэтапный рисунок Петуха карандашом на Новый год 2017
Иногда карандашный рисунок получается более выразительным и изящным, чем написанный красками. Тем более, если он посвящен радостному событию или важному персонажу. В нашем случае – символу Нового 2017 года – Огненному Петуху. Такой рисунок ассоциируется с глубоким детством, когда мы с невообразимым удовольствием изображали на белых листах свои праздничные эмоции и волшебные фантазии. Теперь настала пора привлечь собственных деток к творческому процессу и научить их поэтапно рисовать Петуха карандашом на Новый год 2017. Любимейший новогодний сюжет, оформленный в нарядную рамку или приклеенный к оконному стеклу, напитает атмосферой главного зимнего праздника весь дом.
Необходимые материалы
- лист белой бумаги А4
- остро заточенный карандаш
- ластик
Пошаговая инструкция
Детский рисунок в садик на Новый 2017 год Петуха
Загоревшись желанием нарисовать детский рисунок в садик на Новый год, малыши часто не могут определиться с тематикой. Ведь выбор просто невероятен! Можно изобразить доброго Дедушку Мороза, ушастого зайку, пышную зеленую ель, алый мешок с блестящими подарочными коробками. А можно нарисовать всеми любимого и обожаемого снеговика. Этот удивительный персонаж символизирует снежную зимушку, волшебный праздник, веселые детские забавы.
Необходимые материалы
- плотная бумага или белый картон
- простой карандаш
- ластик
- набор кистей для рисования
- вода и емкость для нее
Пошаговая инструкция
Рисунок «Дед Мороз» карандашом и красками своими руками на Новый 2017 год
В преддверии новогодний праздников мы повсюду встречаем изображения Дедушки Мороза: на ярких открытках, на концертных афишах, на сладких подарочных наборах и везде, куда ни глянь. Насмотришься на такую красоту – и самому охота рисовать. Но прежде стоит поразмыслить, каким же должен быть настоящий Дедушка Мороз.
Во-первых, самый главный дед страны обладает роскошной белой бородой, пышными бакенбардами, пушистыми бровями и копной волос чуть длиннее уровня плеча. Во-вторых, у Деда Мороза всегда имеются при себе следующие волшебные атрибуты: длинный блестящий посох и красный мешок с подарками. В-третьих, Мороз Иванович чаще всего облачен в бархатную шубу с морозными узорами, шапку и варежки с меховыми отворотами, а также теплые-претеплые валенки. И, наконец-то, лицо персонажа. Оно заслуживает особого внимания. У Деда Мороза всегда добрые веселые глаза, искренняя улыбка, нос «картошкой», смешные морщинки и румяные щеки. Запомните все эти тонкости, и ваш рисунок «Дед Мороз» карандашом и красками своими руками на Новый 2017 год получится просто идеальным.
Необходимые материалы
- лист плотной белой бумаги
- острый карандаш
- ластик
- набор кистей разной толщины
- акварельные или гуашевые краски
Пошаговая инструкция
- Положите вертикально белый лист. В верхней части нарисуйте окружность головы. Ниже отметьте черточками еще 5 отрезков такой же величины.
- На окружности прорисуйте дедушке шапку. А затем проведите верхнюю линию усов.
- Наметьте улыбку Деда Мороза. Аккуратно прорисуйте волнистую бороду. Можете изобразить ее короткой или длинной (ниже пояса). Также проведите линию глаз и поперечную вспомогательную линию лица.
- Прорисуйте глаза, отмечая внутренние уголки немного выше внешних. Сделайте Морозу Ивановичу нос «крючком» и более четко прорисуйте усы. Приступайте к обрисовыванию рук.
- Добавьте лицу деталей. Более подробно прорисуйте нос с ноздрями. Добавьте широкие брови - и Дед Мороз сразу подобреет. Наведите линии по ходу роста волос на бороде. Дорисуйте чуть ниже рук полы шубы. Одежда должна доходить едва ли не до самого низа.
- Следуя иллюстрации, прорисуйте персонажу перчатки. Обратите внимание, ладони должны быть слегка согнуты. В одной будет посох, в другой – мешок. Начните рисовать одну руку.
- Дорисуйте вторую руку. Посох изобразите в виде обыкновенной прямой палки, а мешок аккуратно перекиньте за плечо.
- Самое время нарисовать Деду Морозу пояс, завязанный в толстый узел, и меховую оборку на шубе. Подол шубейки можно сделать более толстым и массивным.
- Украсьте посох любым подходящим образом: детализируйте снежным узором, заострите кончик, дорисуйте на конце солнце, звезду и т.д. Не забудьте украсить красивым орнаментом шубу, перчатки и валенки.
- Приступайте к разрисовыванию персонажа. Для лица разведите на палитре телесный цвет. Чтобы прорисовать щеки, добавьте немного красного. Для морщинок под глазами и тени на лбу возьмите немного коричневого.
- Белилами покройте усы, бороду, брови и волосы Деда Мороза, выбивающиеся из-под шапки.
- Чтобы глаза персонажа получились живыми, нарисуйте вначале серую радужку, затем черный зрачок и маленькие белые блики. Серым цветом прорисуйте риснички, линии роста бровей и бороды. Для последнего смешайте белило со светлой серой краской. Кончики бороды сделайте немного темнее.
- Приступайте к раскрашиванию шубы. Голубым цветом зарисуйте одну половину. Затем немного осветлите краску и зарисуйте вторую половину. Ту, со стороны которой будет расположен воображаемый источник света.
- Смешайте более темный голубой цвет и прорисуйте им все складки на шубе Деда Мороза. Затем сделайте краску еще темнее и наведите самые затененные участки.
- Аналогичным образом раскрасьте шапку по принципу «свет-светотень-тень». Перчатки можете нарисовать другим цветом, чтобы не сливались с шубой.
- Приступайте к закрашиванию мешка. Вначале используйте более светлую красно-бордовую смесь, затем – более темную в тех местах, где очевидна тень. Не забудьте оставить на шубе легкий блик от мешка, а на мешке – голубые отражения от шубы.
- Зарисуйте посох ореховым цветом и добавьте бордовые тесемки в тон мешку. Вспомните об отражении посоха на шубе и на бороде.
- На последнем этапе дорисуйте белилом сапоги, мех на шубе, синие узоры на одежде и мелкие-мелкие меховые ворсинки везде, где им положено быть. Самый восхитительный рисунок «Дед Мороз» карандашом и красками на Новый 2017 год закончен. Можно оформлять в рамку и вешать на самое почетное место.
Поэтапный рисунок «Снеговик» в школу на Новый 2017 год Петуха
Зима – самый волшебный период в году, окутанный атмосферой добра, сказки, новогодних чудес и волшебства. Позитивное праздничное настроение можно передать не только через изображения Деда Мороза, елки и подарков, но и в восхитительных рисунках таинственного зимнего пейзажа. Такие художественные эксперименты под силу даже начинающим живописцам, независимо от его пола, возраста и опыта. Поэтапный рисунок «Снеговик» в школу на Новый 2017 год Петуха станет отличным украшением класса или дополнением праздничной выставки.
Необходимые материалы
- лист толстой белой бумаги
- простой карандаш
- цветные карандаши
- ластик
Пошаговая инструкция
Конкурс детских рисунков к Новому 2017 году в школе и в Детском саду
Главная задача новогодних рисунков – создавать праздничное настроение, занимать детей и взрослых увлекательным творчеством, украшать яркие выставки и конкурсы в школах и в детских садах. Предложите своему ребенку нарисовать Деда Мороза, Петуха, Снеговика или другой рисунок по клеточкам карандашом или красками своими руками. А наши поэтапные мастер-классы помогут справиться с нелегким творческим процессом и направить фантазию в нужное русло. Детский рисунок на Новый год 2017 – лучшая поделка, наполненная душой автора и теплом его маленьких ладоней.
Загрузка...
