Математическое ожидание (МО) – это сумма произведения вероятностей получения прибыли со сделки, умноженная на фактический результат каждого трейда:
Где n – количество трейдов.
Убыточные сделки, подставляются в формулу с отрицательным знаком и при суммировании вычитаются, поэтому матожидание принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Вероятности положительного исхода (или риска) на каждую сделку заменяют ее фактическим значением, добавляя соотношение среднего арифметического прибыли и убытка. В этом случае формула выглядит следующим образом:
Где фактическая вероятность равна реальному проценту прибыльных сделок от общего числа совершенных трейдов.
Средний профит считается как сумма прибыльных сделок, деленная на их количество. Также рассчитывают средний убыток (ср. лосс), суммируя отрицательные значения и усредняя результаты трейдов.
Соотношение флета и тренда меняется непредсказуемо, поэтому нельзя точно рассчитать вероятность, когда выросшие до максимума направленные движения принесут размер убытка, который невозможно «отработать» малыми тейками.
Правило сбора статистических данных для расчета математического ожидания профита
Расчеты математического ожидания считаются достоверными если:
данные включают исторический период от 2000 до 10 000 свечей или баров «рабочего таймфрейма» ; тесты в равной степени содержат участки растущего, падающего тренда и флэта ; волатильность не имеет сильных отклонений от исторических значений (нет кризисных явлений или панических распродаж).
Тактические приемы по повышению значения математического ожидания
Математическое ожидание сильно зависит от выбора тактики фиксации прибыли и ограничения потерь. Прежде чем принять решение расстаться с найденной или разработанной стратегией, по причине невысокого результата у МО, следует обратить внимание на соотношение стопов и тейков.
Малый размер ограничения убытков приводит к увеличению количества отрицательных сделок и накоплению убытков. Если трейдер торгует парой EUR/USD внутри дня, он должен учитывать, что «торговый шум» в среднем составляет 30 пунктов и приведет к частому срабатыванию stop loss, расположенных в этой зоне.
Соотношение тейк/стоп как 2 к 1 увеличивает значение матожидания. Считается, что тейки и стопы не должны быть ниже паритета (1 к 1).
Уменьшение количества сделок может привести к росту значения МО. Трейдеры используют временные фильтры, торгуя в течение сессии на участках, совпадающих по времени с работой фондовых бирж стран, к которым относятся валюты пары.
Повышение качества входов – покупок или продаж валютных пар . В торговую систему вводятся фильтры, разрешающие сделку в значимых точках. Таковыми являются – исторические максимумы и минимумы, свечи, совпадающие по тренду на младших и старших таймфреймах, показания индикаторов с большим (от 50) периодом и т.д.
Особенности математического ожидания при скальпинге
Скальпинг характеризуется большим количеством сделок внутри дня с низким положительным значением МО. Малый размер стопов в этом случае составляет исключение, оправданное высокой активностью торгов. При небольшом превалировании прибыли над убытком заработок приносит большое количество сделок внутри дня.
В остальных тактических правилах исключений нет – скальпер применяет фиксированное значение тейка, превосходящее по величине уровень стопа. Поиск оптимального значения матожидания достигается за счет подбора времени удерживания сделки, скальпер не должен «пересиживать» или работать, когда нет волатильности.
Рассматриваемый параметр не определяет в одиночку целесообразность принятия стратегии. Оценка производительности основана на комплексном анализе результатов тестирования.
– количество мальчиков среди 10 новорождённых.
Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:
Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.
И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:
– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .
Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)
Тем не менее, ваши гипотезы?
2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ
Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .
Закон распределения дискретной случайной величины
– этосоответствие
между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:
Довольно часто встречается термин ряд
распределения
, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».
А теперь очень важный момент
: поскольку случайная величина обязательно
примет одно из значений
, то соответствующие события образуют полную группу
и сумма вероятностей их наступления равна единице:
или, если записать свёрнуто:
Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:
Без комментариев.
Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:
Пример 1
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .
Решение
: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу
, а значит, сумма их вероятностей равна единице:
Разоблачаем «партизана»:
– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.
Контроль: , в чём и требовалось убедиться.
Ответ :
Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :
Пример 2
В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.
Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.
Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению
:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.
С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:
Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!
Ответ
: искомый закон распределения выигрыша:
Следующее задание для самостоятельного решения:
Пример 3
Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.
…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.
Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение
при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями 
соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений
всех её значений на соответствующие вероятности:
или в свёрнутом виде:
Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:
Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:
Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .
Не верь впечатлениям – верь цифрам!
Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .
Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.
Творческое задание для самостоятельного исследования:
Пример 4
Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?
Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино
Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь
Математическое ожидание выигрыша\проигрыша – один из показателей эффективности торговли трейдера и на форекс, которая вычисляется как сумма произведений каждого возможного профита и лосса и вероятности получить этот выигрыш и проигрыш.
Как рассчитывается математическое ожидание на Форекс?
К примеру, если мы имеем возможность выиграть 40% сделок по 3 доллара, а проиграть 60% сделок по 1 доллару, то наше математическое ожидание будет рассчитываться следующим образом:
Математическое ожидание = (0,4 * 3) + (0,6 * (-1)) =1,2+(-0.6) =0,6.
Получаем, что наше ожидание выигрыша на каждую сделку составляет 60 центов. Другими словами, это эффективность работы трейдера, выраженное в деньгах. При отрицательном математическом ожидании речь идет уже не о выигрыше, а о проигрыше.
Как использовать мат. ожидание?
Математическое ожидание выигрыша является эффективным способом выявить прибыльность выбранной торговой системы.
Собрав статистику своей торговли можно рассчитать математическое ожидание, которое может быть положительным или отрицательным.
Если значение мат. ожидания положительное, это значит, что торговля стабильно прибыльна, депозит будет увеличиваться. При этом, чем больше значения математического ожидания, тем быстрее будет расти депозит.
Если значение математического ожидания отрицательное, это значит, что в случае продолжения такой торговли, депозит будет потерян. Соответственно, нужно вносить коррективы в свою торговую стратегию и пересматривать .
Полезные статьи по теме
Fortrader
Suite 11, Second Floor, Sound & Vision House, Francis Rachel Str.
Victoria
Victoria, Mahe, Seychelles
+7 10 248 2640568
Математическое ожидание — это средний размер выигрыша, на который вы можете рассчитывать, играя на букмекерских ставках. Наверное, это самый важный критерий, которым надо руководиться при выборе букмекера. Статья посвящена расчету этого критерия.
Математическое ожидание — это сумма выигрыша, на которою может рассчитывать игрок, размещая ставки на одни и те же коэффициенты.
Пример: в игре в монетку вы ставите 10$ на «решку», и рассчитываете получить прибыль в 11$, при каждом удачном результате ваше ожидание составит 0.5. Это значит, что если вы будете ставить на решку все время 10$, то на дистанции вы будете выигрывать с каждой ставки 0.50$.
Расчет математического ожидания
Формула для подсчета этого критерия очень проста. Сперва вероятность выигрыша умножаем на размер выигрыша в каждой ставке. Затем с полученного результата вычитываем вероятность проигрыша и умножаем на сумму убытка по каждой ставке.
- вероятность выигрыша * размер выплаты по ставке — вероятность проигрыша * размер убытков ставки
- Для начала найдите коэффициенты для каждого из исходов: ничья, выигрыш, проигрыш.
- Чтобы рассчитать потенциально возможный выигрыш, умножьте сумму ставки на десятичные коэффициенты для каждого из исходов и после этого нужно вычесть сумму ставки.
- Чтобы определить вероятность события разделите 1 на десятичные коэффициенты рассчитываемого нами исхода Вероятность проигрыша равна сумме вероятностей выигрыша для двух других исходов.
- Дальше подставляем полученные нами значение в формулу выше.
Пример: матч Манчестера и Вигана. Кэфы 1.263 и 13.5 соответственно и ничья с кэфом 6.5. Если ставить на Виган 10$, то можно выиграть 125$. Вероятность такого события составит 0.074 или 7.4%. (1 нужно разделить на 13.5).
Шансы другого исхода это сумма вероятности победы Манчестера и ничьей, другими словами 0.792+0.154=0.946. Сумма возможных убытков равна нашей ставке — 10$. Наша итоговая формула получится такой:
- (0,074 *125$) – (0,946 * 10$) = -0,20$
Судя по формуле, тут наше математическое ожидание будет отрицательным. Мы будем проигрывать в среднем 0.20$ при каждой ставке.
Почему подсчет математическое ожидания полезен при ставках?
Отрицательное математическое ожидание не значит что мы будем всегда проигрывать. Все кэфы в букмекерах односторонние, и это значит если нам удастся переиграть букмекера, то мы сможем выиграть.
Как переиграть букмекера? Один из способов — это подсчет собственноручно всех вероятностей того или иного спортивного события. Рассчитывая вероятности событий сами, вы можете найти ошибку букмекера и умело ей воспользоватся. Это существенно повисит ваши шансы на выигрыш.
Пример: судя по коэффициентам шансы победы Вигана составляют 7.4%. Но если при ваших подсчетах Виган будет побеждать в 10% случаях, то наше ожидание от ставки на него увеличится до 3.26$.
Расчет математического ожидания дает нам дополнительную информацию о букмекерах. У большинства букмекеров математическое ожидание составляет -1$ при каждой ставке в 10$, и если вы найдете положительное математическое ожидание, то вы сможете обыграть такого букмекера.
Расчет математического ожидания – это отличный способ определения того, является ли ставка прибыльной. Один математик даже использовал математическое ожидание для неоднократного выигрыша джек-пота лотереи. И хотя эта техника очень полезна, многие игроки незнакомы с ней.
Математическое ожидание – это способ измерения вероятности того или иного исхода в ситуациях, когда возможны два варианта исхода (например, орел или решка при подбрасывании монеты). При этом используется простая матрица решений, в которой оцениваются плюсы и минусы каждого из вариантов.
Эта техника помогает игрокам определить ожидаемую сумму выигрыша или проигрыша по конкретной ставке, при этом положительное математическое ожидание означает, что предложение является выгодным. В качестве примера возьмем национальную лотерею Великобритании: в ней отрицательное математическое ожидание в -0,50 означает, что теоретически игроки теряют 50 пенсов на каждом поставленном фунте стерлингов, то есть ставка с таким математическим ожиданием является невыгодной.
Как рассчитывать математическое ожидание
Формула расчета математического ожидания при проведении лотереи довольно проста. Умножьте вероятность выигрыша на сумму, которую можно выиграть по ставке, и вычтите вероятность выигрыша, умноженную на сумму, которую можно проиграть:
(сумма выигрыша по ставке x вероятность выигрыша) – (сумма проигрыша по ставке x вероятность проигрыша)
В качестве простого примера можно привести подбрасывание монеты, при котором имеется два варианта выигрыша. Допустим, вы поставили по 10 фунтов стерлингов на оба исхода с одинаковой вероятностью (вероятность 0,5 или же коэффициент 2,0 при использовании десятичных коэффициентов). В этом случае математическое ожидание для каждого исхода составит 0. Мы получили 0 потому, что вероятность каждого из исходов одинакова. То есть, если подбрасывать монету бесконечно долго, в теории вы не выиграете и не проиграете.
Но если допустить что, выигрыш в случае выпадения орла составит 11 фунтов стерлингов (то есть, вероятность 0,48 или же коэффициент 2,1 при использовании десятичных коэффициентов), то матрица изменится, и для ставки на орла математическое ожидание составит 50 пенсов. Это означает, что при постоянных ставках исключительно на выпадение орла можно ожидать прибыль в 50пенсов с каждых 10 фунтов стерлингов, поскольку используемые в этом примере шансы выше потенциальных шансов выпадения орла.
Поэтому, если вы обнаружили положительное математическое ожидание, можете смело делать ставки. Но не забывайте, что это работает только в долгосрочной перспективе, поскольку математическое ожидание является лишь теоретическим значением.
Лотерейная математика: выигрыш лотереи с помощью математического ожидания
Идея математического ожидания появилась еще в XVII веке в результате дискуссии между тремя выдающимися математиками о выигрышах при игре в кости. Один из них, Блез Паскаль, который позднее стал известен благодаря труду о биноминальном разложении (треугольник Паскаля), был первым, кто использовал идею математического ожидания, противопоставляя ее вмешательству Бога.
Много лет спустя румынский математик Стефан Мандель понял, как хорошо всем известное математическое ожидание работает в отношении лотерей, и использовал свои знания, чтобы получать преимущества при игре в лотерею.
На основе математического ожидания можно составить технико-экономическое обоснование проведения лотерей.
Чтобы выиграть джек-пот национальной лотереи Великобритании, необходимо угадать 6 из 49 номеров, то есть при 14 миллионах возможных комбинаций шанс выиграть составляет один к 14 миллионам. Отрицательное математическое ожидание в минус 50 пенсов на каждый поставленный фунт стерлингов в национальной лотерее Великобритании. Соответственно, чтобы игра в лотерею была прибыльной для игроков, выигрыш (джек-пот) должен быть намного больше суммы ставки (лотерейного билета). Но при этом лотерея – безрисковый способ пополнения правительством государственной казны, поэтому шансы на выигрыш обычно рассчитываются руководством лотереи таким образом, чтобы математическое ожидание было отрицательным.
И если составить рейтинг самых распространенных азартных игр от бинго до блек-джека с точки зрения математического ожидания, то крупные лотереи окажутся в самом его низу. Так, у национальной лотереи Великобритании математическое ожидание отрицательное и составляет минус 50 пенсов на каждый поставленный фунт стерлингов (то есть, -0,50). Вот почему иногда ее и называют способом непрямого налогообложения, а математика объясняет почему не везёт в лотерее. При этом люди с радостью продолжают покупать лотерейные билеты, даже если знают об отрицательном математическом ожидании лотереи. Их можно понять, ведь жертвуя 50 пенсами с каждого фунта стерлингов, они покупают удовольствие от азарта и получают шанс выиграть кучу денег, которые могут кардинально изменить их жизнь.
Тем не менее, существует и определенная особенность при подсчете математического ожидания для лотерей. Она заключается в том, что если в каком-либо розыгрыше джек-пот не был выигран, его сумма добавляется к джек-поту следующего розыгрыша. Таким образом сумма джек-пота аккумулируется и в определенной момент может достигнуть значения, при котором математическое ожидание станет уже положительным. Мандель понимал это преимущество и искал пути воспользоваться им.
В теории все просто: необходимо было дождаться достаточно большого джек-пота и поставить на все возможные комбинации. На практике же возникли серьезные сложности, поскольку для покупки билетов в местном магазинчике и заполнения всех возможных комбинаций номеров необходима уйма времени. Тем не менее, несмотря на необходимый объем работы, Мандель смог добиться успеха (и впоследствии еще не раз). Так что на вопрос, кто из математиков выигрывал в лотерею, есть ответ: Стефан Мандель. Средства, потраченные им на покупку необходимого количества билетов, были меньше суммы джек-пота, то есть он действительно получил прибыль (при этом не стоит забывать, что ему все равно повезло – он один поставил на выигрышную комбинацию, поэтому ему не пришлось делить выигрыш с кем-то еще).
Хорошим примером использования в своих целях положительного математического ожидания являются и случаи, когда так называемые «счетчики карт» при игре в блек-джек подсчитывают и запоминают вышедшие в отбой и еще играющие карты, получая при этом преимущество и обыгрывая казино.
Можно с уверенностью сказать, что среднестатистический игрок никогда не станет покупать 14 миллионов лотерейных билетов или учиться подсчитывать карты, но существуют две ситуации когда любой игрок может воспользоваться преимуществами положительного математического ожидания: букмекерские вилки и ставки на нишевые виды спорта.
Букмекерские вилки и положительное математическое ожидание
Букмекерская вилка – это разница коэффициентов различных букмекеров на одно и то же событие. Игроки могут использовать ее для создания искусственной таблицы ставок и, как следствие, положительного математического ожидания.
Ставки с использованием букмекерских вилок уже многие десятилетия являются успешным и законным способом получения прибыли и набирают все большую популярность. Такой способ действительно имеет большие преимущества, ведь он основывается на математическом расчете и не зависит от исхода игры или матча. Поэтому многие букмекеры стараются всеми возможными способами противодействовать игрокам, использующим букмекерские вилки. На этом фоне Pinnacle Sports положительно выделяется среди остальных, ведь он наоборот поддерживает таких игроков.
Неявное математическое ожидание
В то время как при ставках на букмекерские вилки используется явное положительное математическое ожидание (конкретные несоответствия коэффициентов у разных букмекеров), существуют и такие ситуации, когда математическое ожидание может быть неявным в результате различия в оценке. Серьезные игроки создают собственные системы оценки шансов и, как следствие, имеют собственную оценку шансов команд или игроков на победу. И если оценка игрока сильно отличается от оценки букмекера, может возникать положительное математическое ожидание.
Особенно часто такое происходит в нишевых видах спорта, когда разница в оценках игрока и букмекера наиболее заметна. В результате возникает матрица решений, в которой коэффициенты игрока лучше предлагаемых букмекером коэффициентов, что в длительной перспективе размещения ставок может принести вам прибыль.
Идея математического ожидания могла родиться в диспуте выдающихся математиков прошлого в попытке найти ответы на важнейшие вопросы мироздания, но сейчас ее можно отлично использовать в более приземленных целях. Это замечательный инструмент, позволяющий игрокам оценить прибыльность ставок. Если вы еще не пользовались математическим ожиданием, нет необходимости обращаться к матрице решений для обоснования его эффективности.
Загрузка...
