Сфера - это одно из первых тел, обладающих высокой симметрией, свойства которого изучают в школьном курсе геометрии. В данной статье рассматривается формула сферы, ее отличие от шара, а также приводится расчет площади поверхности нашей планеты.

Сфера: понятие в геометрии

Чтобы лучше понять формулу поверхности, которая будет дана ниже, необходимо познакомиться с понятием сферы. В геометрии она представляет собой трехмерное тело, которое заключает в себе некоторый объем пространства. Математическое определение сферы следующее: это совокупность точек, которые лежат на определенном одинаковом расстоянии от одной фиксированной точки, называемой центром. Отмеченное расстояние - это радиус сферы, который обозначается r или R и измеряется в метрах (километрах, сантиметрах и других единицах длины).

На рисунке ниже приведена описанная фигура. Линии показывают контуры ее поверхности. Черная точка - центр сферы.

Получить эту фигуру можно, если взять окружность и начать ее вращать вокруг любой из осей, проходящей через диаметр.

Сфера и шар: в чем разница и в чем сходство?

Часто школьники путают эти две фигуры, которые внешне похожи друг на друга, но обладают совершенно разными физическими свойствами. Сфера и шар в первую очередь отличаются своей массой: сфера - это бесконечно тонкий слой, шар же - это объемное тело конечной плотности, которая одинакова во всех его точках, ограниченных сферической поверхностью. То есть шар обладает конечной массой и является вполне реальным объектом. Сфера - это фигура идеальная, не имеющая массы, которая в действительности не существует, но она является удачной идеализацией в геометрии при изучении ее свойств.

Примерами реальных объектов, форма которых практически соответствует сфере, являются новогодняя игрушка в виде шарика для украшения елки или мыльный пузырь.

Что касается сходства между рассматриваемыми фигурами, то можно назвать следующие их признаки:

• обе они обладают одинаковой симметрией;
• для обеих формула площади поверхности является одинаковой, более того, они обладают равной площадью поверхности, если их радиусы равны;
• обе фигуры при равных радиусах занимают одинаковый объем в пространстве, только шар его заполняет полностью, а сфера лишь ограничивает своей поверхностью.

Сфера и шар равного радиуса приведены на рисунке ниже.

Заметим, что шар, так же как и сфера, является телом вращения, поэтому его можно получить, если вращать вокруг диаметра круг (не окружность!).

Элементы сферы

Так называются геометрические величины, знание которых позволяет описать либо всю фигуру, либо отдельные ее части. Основными ее элементами являются следующие:

• Радиус r, который уже был упомянут ранее. Он является расстоянием от центра фигуры до сферической поверхности. По сути, это единственная величина, которая описывает все свойства сферы.
• Диаметр d, или D. Это отрезок, концы которого лежат на сферической поверхности, а середина проходит через центральную точку фигуры. Диаметр сферы можно провести бесконечным числом способов, но все полученные отрезки будут иметь одинаковую длину, которая равна удвоенному радиусу, то есть D = 2*R.
• Площадь поверхности S - двумерная характеристика, формула для которой будет приведена ниже.
• Связанные со сферой трехмерные углы измеряются в стерадианах. Один стерадиан - это угол, вершина которого лежит в центре сферы, и который опирается на часть сферической поверхности, имеющей площадь R 2 .

Геометрические свойства сферы

Из приведенного описания этой фигуры можно самостоятельно догадаться об этих свойствах. Они следующие:

• Любая прямая, которая пересекает сферу и проходит через ее центр, является осью симметрии фигуры. Поворот сферы вокруг этой оси на любой угол переводит ее в саму себя.
• Плоскость, которая пересекает рассматриваемую фигуру через ее центр, делит сферу на две равные части, то есть является плоскостью отражения.

Площадь поверхности фигуры

Эта величина обозначается латинской буквой S. Формула вычисления площади сферы имеет следующий вид:

S = 4*pi*R 2 , где pi ≈ 3,1416.

Формула демонстрирует, что площадь S может быть вычислена при условии знания радиуса фигуры. Если же известен ее диаметр D, тогда формулу сферы можно записать так:

Иррациональное число pi, для которого приведены четыре знака после запятой, в ряде математических расчетов можно использовать с точностью до сотых, то есть 3,14.

Любопытно также рассмотреть вопрос, скольким стерадианам соответствует вся поверхность рассматриваемой фигуры. Исходя из определения этой величины, получаем:

Ω = S/R 2 = 4*pi*R 2 /R 2 = 4*pi стерадиан.

Для вычисления любого объемного угла следует в выражение выше подставить соответствующее значение площади S.

Поверхность планеты Земля

Формулу сферы можно применить для определения на которой мы живем. Перед тем как приступать к вычислениям, следует сделать пару оговорок:

• Во-первых, Земля не обладает идеальной сферической поверхностью. Ее экваториальный и полярный радиусы равны 6378 км и 6357 км соответственно. Отличие между этими цифрами не превышает 0,3%, поэтому для расчета можно взять средний радиус 6371 км.
• Во-вторых, рельеф является трехмерным, то есть на ней имеются впадины и горы. Эти характерные особенности планеты приводят к увеличению ее площади поверхности, тем не менее, в расчете их учитывать не будем, поскольку даже самая большая гора, Эверест, составляет 0,1% от земного радиуса (8,848/6371).

Используя формулу сферы, получаем:

S = 4*pi*R 2 = 4*3,1416*6371 2 ≈ 510,066 млн. км 2 .

Россия, по официальным данным, занимает площадь 17,125 млн км 2 , что составляет 3,36% от поверхности планеты. Если же учесть, что к суше относятся лишь 150,387 млн км 2 , тогда площадь нашей страны составит 11,4% от всей территории, не покрытой водой.

Сфера и шар

Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится на русский язык как «мяч».

ШАР-символ будущего.

Символ шара-глобальность шара Земли. Символ будущего, он отличается от креста тем, что последний олицетворяет собой страдание и человеческую смерть. В Древнем Египте впервые пришли к заключению, что земля шарообразна. Это предположение послужило основой для многочисленных размышлений о бессмертии земли и возможности бессмертия населяющих ее живых организмах.

Человек, держащий шар в руках, символизирует субъекта, несущего тяготы мира Не случайно подобными скульптурами украшены некоторые вокзалы Западной Европы, например в Хельсинки: здесь запечатлены тяготы, выпадающие на плечи путешественника.

Таким образом, шар и глобус - это знаки промысла, проведения, вечности, власти и могущество коронованных особ

Каменное полушарие сферы воплощается в религиозных храмах - куполах православных церквей в России; ступах, связанных с местом пребывания бодхисаттв в Индии. В Индонезии ступы приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.

В греко-римской мифологии шар символизировал удачу, судьбу, ассоциируясь с Тихэ (Фортуной), стоящей на шаре. Знаменитая картина Пикассо «Девочка на шаре» - танцующая Фортуна.

Форма шара в природе Многие ягоды имеют форму шара.

Планеты имеют форму шара.

Некоторые деревья имеют сферическую форму.

Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки

Сфера –это поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг диаметра

Данная точка (О) называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы (R-радиус сферы). Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2R.

Определение шара Шар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой). Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Шаровой сегмент Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой - нибудь плоскостью.

Шаровой слой Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Шаровой сектор Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 900, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы - большой окружностью. Сечение шара

Закрепляем Решите задачу № 573, №574 (а)

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере. /MC/= v(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 т.к. MC=R, то (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Задание 1.Найдите координаты центра и радиуса сферы, заданной уравнением: x?+y?+z?=49 (X-3)?+(y+2)?+z?=2 2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если A(2;-4;7) R=3 A(0;0;0) R=v2 A(2;0;0) R=4 3. Решите задачу №577(а)

Взаимное расположение сферы и плоскости Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости?-буквой d. Введем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью?, а центр С сферы лежал на положительной полуоси Oz.

В этой системе координат точка C (о;о;d), поэтому сфера имеет уравнение x2+y2+(z-d)2=R? Плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z=0

Таким образом вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений. Подставив z=0 во второе уравнение, получим x?+y?=R?-d? Возможны 3 случая:

x?+y?=R?-d? Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

x?+y?=R?-d? Если d=R, то сфера и плоскость именуют только одну общую точку. В этом случае? называют касательной плоскостью к сфере

x?+y?=R?-d? Если d

Закрепляем Решите задачу №580, №581

Касательная плоскость к сфере Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания А плоскости и сферы.

Теорема:Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Рассмотрим плоскость?, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен?. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости?, и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен?.

Обратная теорема:Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Закрепляем Решите задачу № 592

Площадь сферы Сферу нельзя развернуть на плоскость! Описанным около сферы многогранником называется многогранник, всех граней которого которого касается сфера. Сфера называется вписанной в многогранник

Задание: Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9м2. Найдите площадь сферы. Решение: Сечение, проходящее через центр сферы есть окружность. Sсеч =?r2, 9= ?R2, R=v9/? . Sсферы=4 ?r2 , Sсферы=4? · 9/? =36м2

В главе 2 мы продолжим “строительную геометрию" и расскажем о строении и свойствах важнейших пространственных фигур - шара и сферы, цилиндров и конусов, призм и пирамид. Большинство предметов, созданных руками человека, - здания, машины, мебель, посуда и т.д., и т.п., состоит из частей, имеющих форму этих фигур.

§ 4. СФЕРА И ШАР

После прямых и плоскостей сфера и шар - самые простые, но очень важные и богатые разнообразными свойствами пространственные фигуры. О геометрических свойствах шара и его поверхности - сферы - написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны еще древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно, в последние годы. Эти свойства (вместе с законами естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и футбольные мячи, почему так распространены в технике шарикоподшипники и т.д. Мы можем доказать лишь самые простые свойства шара. Доказательства других, хотя и очень важных свойств, часто требуют применения совсем не элементарных методов, хотя формулировки таких свойств могут быть очень простыми: например, среди всех тел, имеющих данную площадь поверхности, наибольший объем у шара.

4.1. Определения сферы и шара.

Определяются сфера и шар в пространстве совершенно так же, как окружность и круг на плоскости. Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной

ной точки на одно и то же (положительное) расстояние.

Эта точка называется центром сферы, а расстояние - ее радиусом (рис. 4.1).

Итак, сфера с центром О и радиусом R - это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися на расстоянии не большем данного (положительного) расстояния от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние - его радиусом.

Итак, шар с центром О и радиусом R - это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Те точки X шара с центром О и радиусом R, для которых образуют сферу. Говорят, что эта сфера ограничивает данный шар или что она является его поверхностью.

Уравнение сферы

M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере, след.

если т. М не лежит на сфере, то MCR, т.е. координаты точки М

не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид:

Основные геометрические формулы

Площадь сферы

Объем шара, ограниченного сферой

Площадь сегмента сферы

где H -- высота сегмента, а -- зенитный угол

Взаимное расположение сферы и плоскости

d - расстояние от центра сферы до плоскости, след. C(0;0;d), поэтому сфера имеет уравнение

плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0

Если т. М (x; y; z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.

След. возможны 3 решения системы:

1) d 0

уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окружность C(0;0;0) и r^2=R^2 - d^2

• 2) d=R, x^2 + y^2 =0, x=y=0 след. сфера пересекается плоскостью в точке О(0;0;0)
• 3) d>R, d^2>R^2 R^2 - d^2

x^2 + y^2 >=0, x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений

Касательная плоскость к сфере

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема:

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство:

Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.

Теорема:

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

Площадь сферы:

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычисления площади сферы радиуса R: S=4ПR:2